3乗公式で符号を間違える理由とは？丸暗記を脱する展開・因数分解の極意
模試や難関大の個別試験で差がつくのが、3文字の3乗公式の因数分解を絡めた応用問題です。公式自体が長く複雑なため敬遠されがちですが、難関校の誘導問題や難問因数分解では頻出のテーマです。
【3文字の3乗公式】
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
この長い式は、後半のカッコをさらに次のように変形できる点が大きな特徴です。
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}$
ここから導かれる入試頻出の重要性質が、「$a + b + c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立つ」という定理です。$(a+b+c)$ が0であれば右辺全体が0になるため、$-3abc$ を移項するだけで3乗の和がシンプルな積の形へと化けます。
たとえば「$(x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3$ を因数分解せよ」という問題では、それぞれのカッコの中身を $A = x-y$、$B = y-z$、$C = z-x$ と置くと、$A + B + C = 0$ になることに気付けます。すると複雑な展開を一切することなく、即座に $3(x-y)(y-z)(z-x)$ と因数分解を完了できるのです。
