イェンゼンの不等式を完全解剖｜Aiと統計学を支える超重要定理の全貌

話題沸騰中の イェンゼンの不等式を完全解剖｜Aiと統計学を支える超重要定理の全貌について、主要な情報を分かりやすく掲載しています。

イェンゼンの不等式を理解する最初の突破口は、数式を追うことではなく凸関数・凹関数のグラフ形状と重心の位置関係を視覚的に捉えることです。

下向きに膨らんでいる下に凸な関数（単に凸関数と呼びます。例：$f(x) = x^2$ や $f(x) = e^x$）を考えます。グラフ上の任意の2点 $A(x_1, f(x_1))$ と $B(x_2, f(x_2))$ を結ぶ線分（弦）を引いたとき、グラフの曲線部分は常に線分よりも「下側」に位置します。

この2点のちょうど中点（確率50%ずつの期待値）を比較すると、以下の関係が明白になります。

• 値の平均を関数に入れたもの：$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)$ ＝ グラフ曲線上の点（下側）
• 関数の値の平均をとったもの：$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ ＝ 線分上の点（上側）

この幾何学的配置から、直感的に次の不等式が導かれます。

$$f\left(\mathbb{E}[X]\right) \le \mathbb{E}\left[f(X)\right]$$

逆に、上に凸な凹関数（例：$f(x) = \log x$ や $f(x) = \sqrt{x}$）では曲線が線分よりも「上側」に位置するため、不等号の向きが逆転します。

$$f\left(\mathbb{E}[X]\right) \ge \mathbb{E}\left[f(X)\right]$$

確率変数 $X$ が2点だけでなく3点、あるいは連続的な確率分布に従う場合であっても、重心（期待値）の性質からこの上下関係は完全に維持されます。これが期待値とイェンゼンの不等式が持つ本質的な幾何学的メカニズムです。